UNICIDAD DE UN CONJUNTO GENERADOR

Un conjunto generador de vectores para un espacio dado $V$ no es único. Nuevamente consideramos el espacio vectorial complejo $\mathbb{C}^2$ , compuesto por vectores columna con dos elementos. Anteriormente vimos que podemos escribir cualquier vector columna arbitrario con dos elementos de la siguiente manera:

$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ \beta\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$

y por tanto el conjunto $\ket{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y $\ket{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$ genera el espacio vectorial $\mathbb{C}^2$ en el que viven los qubits.

Ahora consideramos el conjunto $\ket{u_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\ket{u_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , este conjunto también genera el espacio $\mathbb{C}^2$ , y esto significa que también podemos usar estos vectores para representar qubits. Podemos escribir cualquier elemento de este espacio en términos de estos vectores:

$\ket{\psi} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \alpha \\ \ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ 0 \\ \beta \end{pmatrix}$

$= \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \alpha + \alpha \\ \alpha - \alpha \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \beta - \beta\\ \beta + \beta \end{pmatrix}$

$= \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \alpha \\ -\alpha \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \beta\\ \beta \end{pmatrix} - \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \beta\\ -\beta\end{pmatrix}$

$= \dfrac{\alpha}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \dfrac{\alpha}{2} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} + \dfrac{\beta}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \dfrac{\beta}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$= \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$= \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right) \ket{u_1} + \left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right)\ket{u_2}$

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