El algoritmo de Shor es una de las razones más potentes por las que la computación cuántica tiene el potencial de revolucionar la seguridad digital. A diferencia de muchos otros algoritmos cuánticos que requieren condiciones específicas para ser útiles, Shor ataca directamente un problema central: la factorización de números grandes, base de la criptografía RSA.
Estructura del algoritmo de Shor
Shor divide el problema de factorización en dos partes:
1. Parte cuántica: encontrar el periodo de una función
La parte cuántica se enfoca en encontrar el periodo de una función del tipo f(i) = m^i mod n, donde m es un número elegido al azar y n es el número que queremos factorizar. Este problema es costoso de resolver clásicamente, pero puede resolverse eficientemente con un ordenador cuántico.
2. Parte clásica: usar el periodo para factorizar
Una vez se encuentra el periodo r, se calcula x = m^(r/2). Si x cumple ciertas condiciones (no es 1 ni n-1 módulo n), se convierte en una raíz cuadrada no trivial módulo n, y se puede usar para factorizar n con el algoritmo de Euclides:
p = mcd(x - 1, n)q = mcd(x + 1, n)
Si ambos son mayores que 1, entonces n = p * q, es decir, se ha roto el cifrado.
El corazón del algoritmo: raíces cuadradas no triviales
Una raíz cuadrada no trivial x módulo n cumple que:
x^2 ≡ 1 (mod n)x ≠ 1 (mod n)yx ≠ -1 (mod n)
Esto implica que (x - 1)(x + 1) ≡ 0 (mod n), lo que sugiere que el producto es divisible por n, pero ninguno de los factores lo es individualmente. Por tanto, uno contiene un factor primo p, y el otro el otro primo q.
Aplicando el máximo común divisor (mcd) entre (x - 1) y n, y entre (x + 1) y n, se obtienen los factores.
Ejemplo: factorización de 15 usando Shor
- Elijo
m = 2,n = 15 - Calculo
f(i) = 2^i mod 15hasta encontrar el periodo:2^4 mod 15 = 1, por tantor = 4 - Como
res par, calculox = 2^(4/2) = 4 - Compruebo que
4^2 mod 15 = 1y4 ≠ 1y4 ≠ 14, entoncesxes raíz no trivial - Calculo:
mcd(4 - 1, 15) = mcd(3, 15) = 3mcd(4 + 1, 15) = mcd(5, 15) = 5
- Resultado: los factores primos de 15 son 3 y 5
Eficiencia y probabilidades
La clave del algoritmo es que la probabilidad de encontrar un m aleatorio con periodo par es mayor al 50%. Por tanto, repitiendo el proceso pocas veces es casi seguro que se encuentre una raíz cuadrada no trivial y, por lo tanto, se logre factorizar.
Implicaciones para la seguridad digital
La seguridad de RSA se basa en que, con ordenadores clásicos, no existe un algoritmo eficiente para factorizar números grandes. Pero Shor lo resuelve en tiempo polinómico con un ordenador cuántico, lo que haría vulnerables a todos los sistemas que hoy se consideran seguros.
Esto justifica el desarrollo acelerado de la criptografía post-cuántica, que busca sistemas resistentes incluso ante la llegada de ordenadores cuánticos funcionales a gran escala.
Conclusión
El algoritmo de Shor es un ejemplo contundente de cómo la computación cuántica no es solo una curiosidad científica, sino una tecnología que puede cambiar las reglas de juego en campos críticos como la seguridad digital.
Entenderlo es clave para anticiparse a los cambios y proteger los activos digitales del futuro.
Entradas Relacionadas
- Repensando el Aprendizaje Cuántico: una arquitectura conceptual basada en qubits
- Hablemos de python
- Oracle Database 19c: Innovación y Estabilidad para la Gestión de Datos Empresariales
- Fortran: Análisis en profundidad
- Guía Completa para Instalar Google Chrome en Debian
- IBM anuncia una inversión de 150.000 millones para impulsar la computación cuántica en EE.UU.