Combinaciones lineales de vectores

Sea $\alpha_i$ un conjunto de coeficientes complejos y $\ket{v_i}$ un conjunto de vectores, una combinación lineal de estos vectores viene dada por

$\alpha_1\ket{v_1} + \alpha_2\ket{v_2} + \dots + \alpha_n\ket{v_n} = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \alpha_i\ket{v_i}$

Ahora bien, si un determinado conjunto de vectores $\ket{v_1}, \ket{v_2}, \dots, \ket{v_n}$ puede usarse para representar cualquier vector $\ket{u}$ que pertenezca al espacio vectorial $V$ , decimos que el conjunto $\{\ket{v_i}\}$ abarca (o genera) ese espacio vectorial.

Por ejemplo, consideremos el espacio tridimensional $\mathbb{C}^3$ . Podemos escribir cualquier vector columna de tres componentes de la siguiente manera:

$\ket{u} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ \beta \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \gamma \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ + \gamma\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

donde $\ket{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\ket{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y $\ket{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\ket{u} = \alpha_1\ket{v_1} + \alpha_2\ket{v_2} + \alpha_3\ket{v_3}$

donde $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \into \mathbb{C}$

Ya hemos visto un conjunto generador para qubits cuando consideramos los estados básicos en que puede hallarse un qubit $\{\ket{0}, \ket{1}\}$ .

Teniendo en cuenta que un qubit puede escribirse como

$\ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$

podemos escribirlo como vector columna y usando las propiedades de suma de vectores y producto de un escalar por un vector

$\ket{\psi} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ \beta\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$

lo que nos lleva a que $\ket{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y $\ket{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$

Una noción importante ligada a la combinación lineal de un conjunto de vectores es la de independencia lineal. Si

$\alpha_1\ket{v_1} + \alpha_2\ket{v_2} + \dots + \alpha_n\ket{v_n} = 0$

y al menos uno de los coeficientes $\alpha_i$ es distinto de cero, decimos que el conjunto $\{\ket{v_i}\}$ es linealmente dependiente. Otra forma de expresarlo es que si algún vector del conjunto puede escribirse como combinación lineal de los demás, entonces el conjunto es linealmente dependiente.

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